1. המעגל מעגל הוא קו סגור במישור, שכל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה מנקודה במרכז. נקודה זו נקראת מרכז המעגל. מרחק הנקודות שעל המעגל ממרכזו נקראת רדיוס

Transcript

1 1. המעגל מעגל הוא קו סגור במישור, שכל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה מנקודה במרכז. נקודה זו נקראת מרכז המעגל. מרחק הנקודות שעל המעגל ממרכזו נקראת רדיוס המעגל. כל קטע המחבר את נקודת המעגל עם מרכזו נקרא אף הוא רדיוס. קטע המחבר שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר. מיתר העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר. מיתר העובר דרך מרכז המעגל מכונה קוטר. משפט 1 קוטר המעגל שעובר דרך אמצע של מיתר מאונך לו. הוכחה הוא מיתר במעגל, ו- C אמצעו. המשולש הוא שווה שוקיים שבסיסו ושוקיים הן רדיוסים המעגל. על פי תכונות התיכון לבסיס של משולש שווה שוקיים, הקטע C הוא גם גובה המשולש. לכן קוטר המעגל שעובר דרך אמצע המיתר מאונך לו. משפט 2 )משפט הפוך( אנך אמצעי למיתר המעגל הוא קוטר. הוכחה הוא מיתר במעגל שמרכזו, ו- DK אנך אמצעי לקטע. נבחר נקודה כלשהי על האנך, נסמן אותה ב- E ונתבונן הם ישרי זווית ובעלי ניצבים במשולשים EC ו- :EC שווים C( C = כי C הוא אמצע הקטע, ו- CE צלע משותפת(. גיאומטריה - המעגל 1

2 לכן המשולשים הם חופפים,,E = E כלומר כל נקודות על האנך DK מרוחקות באופן שווה מקצות המיתר, ביניהן גם הנקודה שעבורה, = = R והיא מרכז המעגל. מכאן מסיקים ש- DK הוא קוטר המעגל. מ.ש.ל. תרגילים ומשימות א. מנ ו שני רדיוסים, קוטר, שלושה מיתרים ושני חותכים של המעגל שבשרטוט..1 ב. מהו חותך המעגל שבשרטוט, העובר דרך נקודה M שמחוץ למעגל? הוכיחו שכל קרן, היוצאת ממרכז המעגל, חותכת את המעגל בנקודה אחת. הוכיחו שכל ישר, העובר דרך מרכז מעגל, חותך את המעגל בשתי נקודות. שרטטו מעגל וב ו כמה מיתרים מקבילים. מהי התכונה המשותפת לנקודות האמצע של המיתרים האלה? א. דרך נקודה על מעגל נתון עוברים 3 קוטר ומיתר שאורכו 2 שווה לרדיוס המעגל. מצאו את הזווית ביניהם. ב. דרך הנקודה על מעגל נתון עוברים שני מיתרים -1 שאורכם שווה לרדיוס המעגל. מצאו את הזווית ביניהם. מרחק מנקודה למרכז המעגל 3- קטן מרדיוס המעגל הוכיחו כי כל ישר העובר דרך הנקודה חותך את המעגל כיצד לשרטט מעגל ללא מחוגה? 1 שעשועי מתמטיקה כידוע, מעגל משרטטים במחוגה. קשה הרבה יותר לעשות זאת ללא מחוגה. -4 נכון שישנם מעטים המיומנים בכך, כמו הצייר המפורסם אלברט דירר שבתנועת יד אחת צייר מעגל כה מדויק שהבדיקה במחוגה לא הראתה סטייה... קיימת שיטה פשוטה המאפשרת לשרטט רבע מעגל על נייר משובץ..7 גיאומטריה - המעגל 2

3 השיטה נקראת 3" 1 1, 1 1,,"3 והיא פועלת כך: מציירים נקודה בפינה של משבצת כלשהי, סופרים שלוש משבצות ימינה )שמאלה( ואחת מטה, מציירים נקודה שנייה; סופרים משבצת אחת ימינה )שמאלה( ואחת למטה, ומציירים נקודה שלישית; סופרים משבצת אחת ימינה ושלוש מטה, ומציירים את הנקודה הרביעית. מעבירים את העקומה דרך ארבע הנקודות, ומקבלים רבע המעגל. שאלה )קלה(: לכמה משבצות שווה רדיוס המעגל הזה? לכמה שווה הקוטר? מדוע פתחי ביוב עגולים? רמז: היעזרו בתכונה ב' בהמשך העמוד. קחו רצועת נייר מלבנית שניתן לכסותה בעיגול. קפלו אותה סביב המרכז, כפי שמתואר בשרטוט. האם גם לאחר הקיפול אפשר לכסותה באמצעות אותו העיגול?.8.9 סדרו חמישה מטבעות באופן האחרים. תכונות נוספות של מעגל שכל אחד מהם ישיק לארבעת.11 א. ב. ג. המעגל יכול "לגלוש" על עצמו, באופן שכל נקודה עליו יכולה להתלכד עם כל נקודה אחרת. תכונה זו קיימת רק במעגל ובישר )אולם הישר אינו קו סגור(. זו הסיבה לכך שחרב עשויה בצורת קשת של מעגל, שאם לא כן היא לא תיכנס באופן מדויק לנדן )לנרתיק(. קוטר מחלק את המעגל לשתי צורות חופפות, כלומר המעגל הוא סימטרי יחסית לקוטר )היעזרו בעובדה זו לפתרון שאלה 8(. הסיבה העיקרית לכך שגלגל עשוי בצורה של מעגל היא כדי שהציר עליו מונחת העגלה יישאר בגובה קבוע מהקרקע. גיאומטריה - המעגל 3

4 2. משיק למעגל H d r p d < r 2.1 ישר ומעגל נבדוק כמה נקודות משותפות יכולות להיות לישר ולמעגל? אם הישר עובר דרך מרכז המעגל, הוא חותך אותו בשתי נקודות שהן קצות הקוטר הנמצא על הישר. נניח שישר p אינו עובר דרך מרכז של מעגל שרדיוסו r. נשרטט אנך H לישר p ונסמן באות dd את אורך האנך, כלומר את המרחק ממרכז המעגל לישר. נבדוק שלושה מקרים אפשריים:. נקצה שני קטעים H ו- H שאורכם על הישר p d. < r א. על פי משפט פיתגורס: r מכאן מסיקים שהנקודות ו- נמצאות על המעגל, ולכן הן נקודות משותפות p לישר ב. ולמעגל הנתון. כלומר המעגל, אזי לישר ולמעגל יש שתי נקודות משותפות..d = r במקרה זה כאשר מרחק ממרכז מעגל לישר קטן מרדיוס,H = r כלומר נקודה H נמצאת ג. על המעגל, ולכן היא משותפת לישר ולמעגל. לישר p ולמעגל אין נקודות משותפות אחרות, כיוון שלכל נקודה M על הישר השונה מ- H, מתקיים: D M > H = r )במשולש, מול זווית גדולה נמצאת הצלע הגדולה(. לכן הנקודה M אינה שייכת למעגל..d > r במקרה זה,H > r לכן לכל נקודה M על הישר p מתקיים: M אינה שייכת למעגל..M > H > r כלומר, הנקודה כאשר מרחק ממרכז מעגל לישר גדול מרדיוס המעגל, אזי לישר ולמעגל אין נקודות משותפות. M r H d H d M p d = r p d > r D גיאומטריה - המעגל 4

5 - גיאומטריה משיק למעגל בסעיף הקודם הוכחנו שלישר ולמעגל יכולה להיות נקודה משותפת אחת, שתי נקודות משותפות או אף לא אחת. הישר שיש לו נקודה משותפת אחת עם המעגל המשותפת נקראת נקודת ההשקה. נוכיח משפט על תכונת המשיק למעגל. משפט 1 משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. הוכחה משיק למעגל p ההשקה. נניח שרדיוס שמרכזו בנקודה לנקודת ההשקה ו-, = r למשיק, כלומר הזווית בינו לבין הישר p חדה. נשרטט אנך לישר p. היא נקרא נקודת אינו מאונך המעגל משיק למעגל, והנקודה כיוון שבמשולש ישר זווית המרחק ממרכז המעגל לישר p הוא הניצב, והיתר הוא הרדיוס, מסיקים ש-. < r בסעיף הקודם הוכחנו שכאשר מרחק ממרכז מעגל לישר קטן מרדיוס המעגל, אזי לישר ולמעגל שתי נקודות משותפות. אולם דבר זה נוגד לנתון שהישר p הוא משיק. לכן ההנחה שהרדיוס אינו מאונך לישר הופרכה. המשפט הוכח. משפט 2 קטעי המשיקים למעגל היוצאים p לנקודות ההשקה ו- C שווים. מנקודה, שוות גם הזוויות בין המשיקים לבין הישר העובר דרך מרכז המעגל ונקודה. הוכחה על פי תכונות המשיק, הזוויות 2 ו- 1 המשולשים משותף וניצבים ו- שווים ישרות, לכן C ישריr זווית. יש להם יתר,) = C = r( לכן על פי C 2 r 1 p

6 משפט פיתגורס, שווים גם הניצבים ו-,C והמשולשים חופפים )צ.צ.צ(. אי לכך, שוות גם הזוויות החדות 3. = 4 מ.ש.ל. 2.3 משיק לשני מעגלים הגדרה שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה מסוימת אם יש להם משיק משותף באותה נקודה. ההשקה נקראת פנימית )שרטוט א(, אם מרכזי המעגלים נמצאים באותו צד מהמשיק המשותף, או חיצונית )שרטוט ב(, אם מרכזי המעגלים נמצאים בשני צדי המשיק. C E D א ב תרגילים ומשימות M היא נקודה מחוץ למעגל. כמה משיקים למעגל זה עוברים דרכה? שרטטו משיקים אלה. דרך קצות הקוטר של מעגל עוברים שני משיקים. הוכיחו שהם מקבילים. רדיוס M של מעגל שמרכזו חוצה את המיתר. הוכיחו כי משיק למעגל בנקודה M מקביל למיתר. כמה משיקים משותפים חיצוניים וכמה פנימיים אפשר לשרטט לשני המעגלים האלה? שרטטו כמה מהם גיאומטריה - המעגל 2

7 15. שרטטו שני מעגלים וכל משיק משותף אפשרי, באופן שמספרם יהיה: א. 1 ב. ג. ד. ה. 12. כמה מעגלים יכולים להשיק לישר נתון בנקודה נתונה?.17 בשרטוט משמאל נתון:.P = 10 cm מה אפשר לומר על שני המשיקים האחרים:?PC א. P ב. 18. שרטטו את כל המעגלים המשיקים לכל אחד משלושת המעגלים שבשרטוט: 19. נתונים שני מעגלים בעלי מרכז משותף P. המיתר של המעגל הגדול משיק למעגל הקטן בנקודה C. הוכיחו ש- C היא נקודה אמצעית של המיתר. הוכיחו משפט: אם שני מעגלים משיקים, אזי מרכזיהם ונקודת ההשקה שלהם נמצאים על ישר אחד )ראו שרטוט בעמוד הבא(..21 גיאומטריה - המעגל 7

8 דרך נקודה של המעגל עוברים משיק ומיתר שאורכו שווה לרדיוס המעגל. מצאו את הזווית ביניהם. דרך קצות המיתר שאורכו שווה לרדיוס המעגל, עוברים שני משיקים הנפגשים בנקודה C. מצאו את הזווית.C הזווית בין קוטר המעגל ומיתר C שווה ל- 30. דרך נקודה C עובר משיק שחותך את הישר בנקודה D. הוכיחו כי המשולש CD הוא שווה שוקיים. ישר משיק למעגל בעל רדיוס R שמרכזו בנקודה. מצאו את אם נתון: = 2 ס"מ, = R 1.5 ס"מ. ישר משיק למעגל בעל רדיוס R שמרכזו בנקודה. מצאו את אם נתון: = R, = ס"מ. נתונים: מעגל שמרכזו ה, רדיוס שלו באורך 4.5 ס"מ ונקודה. דרך הנקודה עוברים שני משיקים למעגל. מצאו את הזווית ביניהם, אם = 9 ס"מ.. והם עוברים דרך נקודה, הם קטעי המשיקים למעגל שמרכזו ב- C ו- מצאו את הזווית,C אם ידוע שנקודה אמצעית של הקטע נמצאת על המעגל. נתונים: מעגל שמרכזו ונקודה p. בשרטוט נתון: = 3 ס"מ, = 2 ס"מ. 3 מצאו את:,C, ו- C ו- הישרים משיקים למעגל שמרכזו ב- r C בנקודות ו- C מצאו את C אם נתון כי = 30 ו- = 5 ס"מ. גיאומטריה - המעגל 8

9 הישרים M ו- M משיקים למעגל שמרכזו ב- בנקודות ו-. נקודה C סימטרית לנקודה יחסית לנקודה. הוכיחו כי. MC = 3 MC דרך קצות הקוטר של מעגל נתון עוברים אנכים 1 ו- 1 למשיק שאינו מאונך לקוטר. הוכיחו כי נקודת ההשקה היא נקודה אמצעית של הקטע.11 במשולש C הזווית ישרה. הוכיחו כי: א. ב. ג. א. ג. הישר C משיק למעגל בעל רדיוס שמרכזו ב- ; הישר משיק למעגל בעל רדיוס C שמרכזו ב- C; הישר С אינו משיק למעגלים שמרכזם ב-, והם בעלי רדיוסים ו-.C קטע H הוא אנך מנקודה לישר שעובר דרך מרכז המעגל שהרדיוס שלו 3 ס"מ. האם הישר H משיק למעגל זה במקרים הבאים: = 5 ס"מ, = H 4 ס"מ; ב. = 4 ס"מ;, H = 45 = 6 ס"מ?, H = 30 בנו משיק למעגל שמרכזו בנקודה : א. כאשר הוא מקביל לישר נתון; המרחק מנקודה E למרכז המעגל הוא 21 ס"מ. ב. כאשר הוא מאונך לישר נתון. רדיוס המעגל 5 ס"מ. ישר העובר דרך נקודה E משיק למעגל בנקודה. מצאו את אורך הקטע.E כל אחד מהמעגלים שבשרטוט משיק לשני האחרים. נתון:,C = 14 cm, = 10 cm מצאו את הרדיוסים של המעגלים..C = 18 cm גיאומטריה - המעגל 9

10 נתונים שני מעגלים בעלי מרכז משותף ורדיוסים 11 ו- 22 ס"מ. שרטטו ישר משיק למעגל הקטן. מצאו את אורך הקטע של ישר זה בין נקודת החיתוך עם המעגל הגדול לנקודת ההשקה עם הקטן..37 בשרטוט משמאל נתון: קוטר המעגל שמרכזו.38 ;T בנקודה P; הישר m משיק למעגל זה בנקודה הקטעים D ו- C מאונכים ל- m. הוכיחו כי.PD = PC 36. שני המעגלים שמרכזם בנקודות P ו- S משיקים לישר m בנקודה Q. חותך המעגל הגדול עובר דרך P ומשיק למעגל הקטן בנקודה T. הוא גם חותך את הישר m בנקודה R. מצאו את QR אם הרדיוסים הם: 8 ס"מ ו- 3 ס"מ בהתאם. ישר משיק למעגל שמרכזו. רדיוס המעגל 5 ס"מ ) נקודת ההשקה(. מצאו את אם נתון:. = 12 cm ישר משיק למעגל שמרכזו, בנקודה. רדיוס המעגל 15 ס"מ. מצאו את אם נתון:. = 17 cm גיאומטריה - המעגל 11

11 ישרים ו- C משיקים למעגל בנקודות ו- C בהתאמה. רדיוס המעגל 8 ס"מ. נתון:. C = 60 מצאו את ו-.C ישרים M ו- M משיקים למעגל שמרכזו בנקודה ) ו- נקודות ההקשה(. מצאו את M ו- M אם נתון: M = 90 ו- ס"מ = 10.M משיקים למעגל שמרכזו בנקודה M ו- M והרדיוס 8 ס"מ ) ו- נקודות ההקשה(. אם נתון: M מצאו את היקף המשולש. = מנקודה יוצאים משיקים ו- C למעגל שמרכזו בנקודה ) ו- C נקודות ההקשה(. מצאו את היקף המשולש C אם נתון: ס"מ = 12 ו-. C = גיאומטריה - המעגל 11

12 מ. 3. זוויות במעגל 3.1 קשת של מעגל הגדרות נסמן על המעגל שתי נקודות ו-. הן מחלקות את המעגל לשתי קשתות. כדי להבדיל ביניהן, נסמן על כל קשת נקודה נוספת, L ו- M. את הקשתות שנוצרו מסמנים: L ו-. M כאשר ברור על איזו קשת מדובר, מסמנים ללא אותה נקודה אמצעית:. כאשר המיתר שמחבר את קצותיה הוא קוטר המעגל, הקשת נקראת חצי מעגל. זווית שקדקודה במרכז המעגל נקראת זווית מרכזית. שוקי הזווית המרכזית במעגל עם המרכז חותכות את המעגל בנקודות ו-. לזווית מרכזית מתאימות שתי קשתות שקצותיהן בנקודות ו-. אם הזווית שטוחה, אזי יתאימה לה שני חצאי מעגל. אם הזווית אינה שטוחה, הקשת הנמצאת בתוך הזווית קטנה מחצי הקשת האחרת במקרה זה היא גדולה מחצי מעגל. את הקשת מודדים במעלות. אם הקשת קטנה או שווה לחצי מעגל, אזי מעגל. גודלה במעלות שווה לגודל הזווית המרכזית )במעלות(. אם הקשת גדולה מחצי מעגל, אזי גודלה במעלות שווה ל כאן נובע שסכום הגדלים של שתי קשתות בעלות קצוות משותפים הוא 360. גיאומטריה - המעגל 12

13 ב, ב, התבוננו בשרטוט ומצאו את גודל הקשת: תרגילים.42 D C א. ב. ג. C D C D ד. D ה. ו. היעזרו בשרטוט ומצאו את גודל הזווית או הקשת: את גודל.47 GQE EQF א. GQF ב. ג. E HF G HE ד. G E ה. ו. מצאו את גודל הזווית המרכזית 1: א. ב. ג..48 ד. ה. ו. 49. נקודות, ו- C מחלקות את המעגל שמרכזו לשלוש קשתות: : C: C יחס = 7:5:6 C ו- C, מצאו את הזוויות C,C ו קדקודי המשולש C מחלקים את המעגל שמרכזו לשלוש קשתות: : C : C יחס של = 2:9:7 C ו- C, - מצאו את הזוויות C,C ו-.C גיאומטריה המעגל 13

14 שרטטו מעגל שמרכזו וסמנו עליו נקודה. בנו מיתר באופן שיתקיים: א. = 60 ב. = 90 ג. = 120 ד. = 180. רדיוס המעגל שמרכזו הוא 12 ס"מ. מצאו את המיתר אם נתון: א. = 60 ב. = 90 ג. = 180 ד. = 120 במעגל שמרכזו המיתרים ו- CD שווים. א. הוכיחו ששתי קשתות המעגל שקצותיהן ו- שוות בהתאמה לשתי הקשתות שקצותיהן C ו- D. ב. מצאו קשתות שקצותיהן C ו- D אם: = 112. על חצי המעגל נתונות נקודות C ו- D באופן שמתקיים: = 37 C, = 23 D. מצאו את אורך המיתר,CD אם ידוע שרדיוס המעגל 15 ס"מ. מצאו זוויות מרכזיות משלימות אם ידוע כי: א. אחת מהן גדולה פי 5 מהשנייה; ב. אחת מהן גדולה ב- 100 מהשנייה; L ג. הפרש הזוויות M C 3.2 זווית היקפית הגדרה זווית שקדקודה על מעגל ושוקיה חותכות אותו נקראת זווית היקפית. לדוגמה: הזווית C היא זווית היקפית. הנקודות ו- C שבהן שוקי הזווית חותכות את המעגל, מהוות קצות הקשת.MC במקרה זה אומרים שהזווית M.MC נשענת על הקשת C 2 1 C זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא משפט הזווית... שווה לגודל "גודל במקום לומר נשענת. הערה הקשת..." אומרים בקצרה "זווית... שווה לקשת...". גיאומטריה - המעגל L 14

15 הוכחה נבדוק שלושה מקרים אפשריים של מיקום הקרן ביחס לזווית.C א. אחת משוקי הזווית C עוברת דרך מרכז המעגל, לדוגמה השוק.C במקרה זה הקשת C קטנה מחצי מעגל, לכן. C = C כיוון שהזווית C היא זווית חיצונית של משולש שווה השוקיים, וזוויות ו- שוות, מתקיים: C = = 2 1. C = 1 = C מכאן נובע: 2 1 = C או מ.ש.ל. C הקוטר ב. D זווית את מחלק לשתי זוויות. במקרה זה הקוטר D חותך את הקשת C בנקודה D. נקודה זו מחלקת את הקשת C לשתי קשתות:.D C ו- D D = בסעיף הקודם הוכחנו כי D ו-. DC = D C נחבר את שתי השוויונות: D + DC = D + D C = C מ.ש.ל. ג. הקוטר D אינו מחלק את הזווית C לשתי זוויות ואינו מתלכד עם שוקי הזווית. ניתוח מקרה זה דומה למקרה הקודם. נסו להוכיח זאתם! מסקנה 1 זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות. מסקנה 2 זווית היקפית הנשענת על הקוטר היא ישרה. הוכחה גודל הקשת הנשענת על הקוטר הוא 180. גיאומטריה - המעגל 15

16 ניעזר במסקנה 1 ונוכיח את המשפט על מכפלת קטעי המיתרים. משפט אם שני מיתרי המעגל נחתכים בתוך המעגל, אזי מכפלות קטעי המיתרים של כל מיתר שוות. הוכחה א. בדיקת "הגיון" התבוננו בשרטוט וחשבו, האם הטענה שבמשפט הגיונית: הייתכן שמכפלת קטעי המיתר שווה למכפלת קטעי המיתר?CD בדקו את הטענה באמצעות תוכנה לגיאומטריה דינמית: בנו שני מלבנים, האחד שצלעותיו E ו-,E והשני שצלעותיו CE ו- ED ומדדו את שטחם: האם הם שווים? ב. לאחר שהבדיקה הראתה שגם במקרה ששני המיתרים והקטעים שלהם שונים מאוד בגודלם, שטחי המלבנים הבנויים עליהם שווים, נוכיח את המשפט במקרה כללי: נניח שהמיתרים ו- CD נחתכים בנקודה E. נוכיח שאז מתקיים: E E = CE DE 2.CE זוויות 1 DE נסתכל במשולשים ו- שוות, ו- כזוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת, D וזוויות 3 ו- 4 שוות כזוויות קודקודיות. אי לכך, במשולשים DE ו- EC כל הזוויות שוות, וכפי שלמדתם בכיתה ט' )משפט דמיון ז.ז.ז.(, משולשים אלה דומים: גיאומטריה - המעגל 12

17 . CE DE על פי ההגדרה של משולשים דומים אפשר לרשום:.E E = CE DE מכאן נובע: מ.ש.ל. E D E מסקנה P אם מנקודה כלשהי של מעגל נורידD אנך על E הקוטר, P אזי מכפלת קטעי הקוטר שווה לריבוע האנך. P הוכחה E E = DE EC, DE = EC C מ.ש.ל. C E E = DE 2 תרגילים 52. מצאו את x ו- y בהסתמך על השרטוטים האלה: ב א בשרטוט 2 נתון: n K = CKD = מצאו את גודל הקשתות ו- C. D ג.57 שרטוט 2 גיאומטריה - המעגל 17

18 58. בשרטוט 3 נתון: ישר m משיק למעגל בנקודה X. מצאו את גודלן של כל הזוויות בשרטוט. שרטוט 3 מצאו את הזווית ההיקפית C במעגל אם ידוע שהקשת עליה היא נשענת היא: ;124 א. 48 ; ב. 57 ; ג. 90 ; ד. ה מצאו אתx על פי נתוני השרטוטים:.254 ד( ג( ב( א( נתון: זווית מרכזית גדולה מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת ב- 30. מצאו את שתי הזוויות. מיתר נשען על קשת בת 115 ; מיתר C נשען על קשת בת 43. מצאו את זווית.C נקודות ו- מחלקות את המעגל לשתי קשתות, כאשר הקטנה מהן היא בת 140, והגדולה מחולקת בנקודה M ביחס 6:5, החל מהנקודה. מצאו את הזווית.M דרך הנקודה הנמצאת מחוץ למעגל עוברים שני חותכים באופן שהזווית ביניהם היא 32 ה. קשת הגדולה החסומה בתוך זווית זו היא בת מצאו את גודל הקשת הקטנה גיאומטריה - המעגל 18

19 מצאו את הזווית החדה הנוצרת על ידי שני חותכים העוברים דרך הנקודה שמחוץ למעגל, אם ידוע שהקשתות החסומות על ידי החותכים הן 140 ו- 52. המיתרים ו- CD של המעגל נפגשים בנקודה E. מצאו את הזווית EC אם נתון: = 54 D. C = 70, הקטע C הוא קוטר המעגל, הוא מיתר, M משיק. נתון שהזווית M היא חדה. הוכיחו כי. M = C ישר M משיק למעגל, הוא מיתר במעגל. הוכיחו שהזווית M שווה למחצית הקשת החסומה בתוך הזווית.M קדקודי המשולש C נמצאים על מעגל. הוכיחו שאם הוא קוטר המעגל, אזי: C > ו-. C > המיתרים ו- CD נפגשים בנקודה E. מצאו את ED אם נתון: א. = 2.5 CE E = 5, E = 2, ב. E = 16, E = 9, CE = ED ג. = 0.4 CE.E = 0.2, E = 0.5, קוטר 1 של מעגל מאונך למיתר 1 וחותך אותו בנקודה C. מצאו את 1 אם נתון: = 8 C1.C = 4, דרך נקודה עוברים משיק ) היא נקודת ההשקה( וישר שחותך את המעגל בנקודות P ו-.R הוכיחו כי. 2 = P R דרך נקודה עוברים משיק ) היא נקודת ההשקה( וישר שחותך את המעגל בנקודות C ו- D. מצאו את CD אם נתון: א. = 2 C = 4, ב. = 10 D. = 5, דרך נקודה הנמצאת מחוץ למעגל עוברים שני ישרים, כאשר אחד מהם חותך את המעגל בנקודות,C1,1 ושני בנקודות.C2,2 הוכיחו כי.1 C1 = 2 C גיאומטריה - המעגל 19

20 תרגילים נוספים מיתרים ו- CD נחתכים בנקודה M. מצאו את אורך המיתר אם נתון: = 4 M:M = DM, 9 ס"מ, = CM 4 ס"מ המיתרים MK ו- PT נחתכים בנקודה. מצאו את אורך הקטע М אם נתון: = 3:4 M:K = T, 42 ס"מ, = P 4 ס"מ נקודות, ו- C נמצאות על מעגל שמרכזו. נתון:. : C = 5:8, C = 50 מצאן את הקשתות האלה ואת הזווית. C הקוטר חותך את המיתר CD בנקודה M. מצאו את הקטעים M ו- M אם נתון: 9 ס"מ =,MD 2 ס"מ =,CM 01 ס"מ =.r נקודות M K, ו- T נמצאות על מעגל שמרכזו. נתון:, KMT = 70. KT מצאו את הקשתות האלה ואת הזווית.K M : M T = 5: ס"מ =.K מיתר חותך את הקוטר CD של מעגל שמרכזו בנקודה K. מצאו את המיתר אם נתון: 0421 ס"מ =,D 3 ס"מ =,CK נקודה K מחלקת את המיתר P לקטעים שאורכם 12 ו- 14 ס"מ. מצאו את רדיוס המעגל, אם המרחק ממרכז המעגל לנקודה K הוא 11 ס"מ נקודה M מחלקת את המיתר PK לקטעים: 8 ס"מ =,MK 7 ס"מ =.PM מצאו את המרחק מנקודה M למרכז המעגל אם הרדיוס הוא 9 ס"מ גיאומטריה - המעגל 21

21 2. מעגל חס ום ומעגל ח וסם D E K F 2.1 מעגל חסום אם כל צלעות המצולע משיקות למעגל, המעגל נקרא מעגל חס ום במצולע, והמצולע הוא מצולע ח וסם את המעגל. בשרטוט משמאל EFMN המרובע חוסם את המעגל שמרכזו בנקודה, והמרובע DKMN אינו חוסם את N M המעגל כיוון שהצלע DK אינו משיק למעגל. C הגדרה מעגל נקרא חסום במשולש, אם הוא משיק לכל צלעות המשולש. E משפט מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת F מפגש של חוצי זוויות המשולש. D הוכחה C משולש נתון, מרכז המעגל החסום בו, נקודות הן צלעות של ההשקה המשולש עם המעגל. F ו- E,D המשולשים ישרי הזווית D ו- E חופפים על פי משפט חפיפה ראשון: יש להם יתר משותף וניצבים D ו- E שווים )שניהם רדיוסים של המעגל(. מחפיפת המשולש נובע שוויון הזוויות D ו-.E כלומר: נקודה נמצאת על חוצה זווית. באותו אופן מוכיחים שנקודה נמצאת על שני חוצי הזווית האחרים. הערות א. הוכחה מ.ש.ל. במשולש נתון אפשר לחסום מעגל אחד בלבד. אם נניח שבמשולש קיימים שני מעגלים חסומים, אזי מרכזו של כל מעגל נמצא במרחק שווה מכל צלעות המשולש, ולכן הוא מתלכד עם נקודת המפגש של חוצי זווית. גיאומטריה - המעגל 21

22 F E M C N K L רדיוס של כל מעגל שווה למרחק מנקודה לצלעות המשולש, לכן המעגלים מתלכדים. F ב. להבדיל ממשולש, לא בכל מרובע אפשר לחסום מעגל. E נתבונן M לדוגמה במלבן שאינו ריבוע. במלבן כזה אפשר למקם מעגל המשיק לשלוש צלעותיו, אולם אי אפשר למקם K מעגל באופן שהוא ישיק לכל ארבע הצלעות, כלומר אי אפשר לחסום מעגל על ידי מלבן. N L למרובע חוסם מעגל יש תכונה מיוחדת: סכומי הצלעות הנגדיות שווים. a b b c C c d הוכחה נתבונן בשרטוט משמאל: על פי תכונות המשיק למעגל, קטעי המשיקים מנקודה שמחוץ למעגל לנקודות ההשקה הם שווים. בשרטוט: + CD = a + b + c + d, a d D שווים, אפשר לחסום בו מעגל. C + D = a + b + c + d, לכן: + CD = C + D גם המשפט ההפוך מתקיים: אם סכומי הצלעות הנגדיות של מרובע קמור תרגילים הבסיס במשולש שווה שוקיים הוא 01 ס"מ ואורך השוק 03 ס"מ. מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש זה. מרכז המעגל החסום במשולש שווה שוקיים מחלק את הגובה לבסיס ביחס 12:5 החל מהקדקוד, השוק באורך 01 ס"מ. מצאו את בסיס המשולש. נקודת ההשקה של המעגל החסום במשולש שווה שוקיים מחלק את אחת מהשוקיים לקטעים של 3 ס"מ ו- 4 ס"מ בהתאמה, החל מהבסיס. מצאו את היקף המשולש. במשולש C חסום מעגל המשיק לצלעות C, ו- C בנקודות Q P, ו- R בהתאמה. נתון: = C 1 ס"מ, = C 04 ס"מ, = 01 ס"מ. מצאו את CR, QC,Q,P,P ו-.R גיאומטריה - המעגל

23 במשולש ישר זווית חסום מעגל בעל רדיוס r. מצאו את היקף המשולש אם נתון: א. היתר באורך 22 ס"מ, r באורך 4 ס"מ. ב. נקודת ההשקה מחלקת את היתר לקטעים של 5 ס"מ ו- 12 ס"מ. מצאו את קוטר המעגל החסום במשולש ישר זווית אם יתר המשולש שווה ל- c וסכום הניצבים שווה ל- m. סכום שתי צלעות נגדיות של מרובע שחוסם מעגל הוא 15 ס"מ. d מצאו את היקף המרובע. הוכיחו שאם המקבילית חוסמת מעגל, היא מעוין. c הוכיחו ששטח המצולע שבו חסום מעגל שווה למחצית המכפלה של היקף המצולע ברדיוס של מעגל חסום. הדרכה: חלקו את המצולע למספר משולשים כפי b שמתואר בשרטוט ושרטטו גובה לכל משולש. סכום שתי הצלעות הנגדיות של המרובע שבו חסום מעגל, הוא 12 ס"מ; רדיוס המעגל החסום 5 ס"מ. מצאו את שטח המרובע. סכום שתי הצלעות הנגדיות של מרובע שבו חסום מעגל, הוא 11 ס"מ; שטח המרובע 12 סמ"ר. מצאו את רדיוס המעגל החסום במרובע. הוכיחו שלכל מעוין קיים מעגל חסום מתאים. שרטטו שלושה משולשים: חד זווית, ישר זווית וכהה זווית. שרטטו מעגל חסום בכל אחד מהם. מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש שווה צלעות באורך 04 ס"מ כל צלע. e R מעגל חסום במרובע,CD שאורכי צלעותיו הם: 8 ס"מ =, 03 ס"מ =,CD 00 ס"מ =.D מצאו את הצלע.C רדיוס המעגל החסום במשולש שווה צלעות הוא 4 ס"מ. מצאו את צלע המשולש. מצאו את הצלע של המרובע CD החוסם את המעגל, אם נתון: 00 ס"מ =,C 03 ס"מ =,CD 01 ס"מ =.D 4 5 h a גיאומטריה - המעגל 23

24 מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש שצלעותיו הן 41 41, ו- 42 ס"מ. מצאו את רדיוס המעגל החסום בטרפז שווה שוקיים, אם בסיסי הטרפז הם - 00 ו- 30 ס"מ מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש שצלעותיו הן 42 01, ו- 01 ס"מ מעגל חסום בטרפז ישר זווית, שאחד מבסיסיו גדול מהשני ב- 0 ס"מ. רדיוס המעגל 4 ס"מ. מצאו את היקף הטרפז אחת מהזוויות במשולש ישר זווית היא 30. מצאו את הצלע הקטנה של המשולש, אם ידוע שרדיוס המעגל החסום בו הוא 2 ס"מ. המרחקים ממרכז המעגל החסום בטרפז ישר זווית לקצות הצלע הארוכה הם 2 ס"מ ו- 8 ס"מ. מצאו את שטח הטרפז אחת מהזוויות במשולש ישר זווית היא 60, והמרחק ממרכז המעגל החסום לקדקוד הזווית הזו הוא 01 ס"מ. מצאו את הצלע הגדולה במשולש. 9 המרחקים ממרכז המעגל החסום בטרפז שווה שוקיים לקצות השוקיים הם ו- 04 ס"מ. מצאו את שטח הטרפז. b b c c מעגל שמרכזו משיק לצלעות C, ו- C של המשולש C בנקודות K P, F ו- T בהתאמה. מצאו את הקשתות T P K, T P, K ואת הזווית, PKT אם נתון: א.. C = 95, C M = 57 ב.. C =, C = α מעגל שמרכזו משיק לצלעות KT,MK ו- TM של המשולש MKT בנקודות, K, MKT = 42 אם נתון:,C את זוויות המשולש בהתאמה. מצאו C ו- N L. KMT = a d E C 2.2 מעגל ח וסם אם כל קדקודי המצולע נמצאים על מעגל, המעגל נקרא מעגל ח וסם והמצולע חס ום במעגל זה. d בשרטוט משמאל המצולע CD חסום במעגל, והמצולע אינו חסום במעגל זה כיוון שקדקוד E אינו עליו. D גיאומטריה - המעגל 24

25 b c c הגדרה מעגל נקרא מעגל ח וסם את המשולש, אם הוא עובר דרך כל קדקודיו של המשולש. משפט מרכז מעגל ח וסם הוא נקודת המפגש של אנכים אמצעיים לצלעות המשולש. הוכחה נתון משולש C ו- מרכז המעגל שחוסם אותו. המשולש הוא שווה שוקיים, כיוון ש- D הוא תיכון וגם גובה. ו- הם רדיוסים של המעגל. לכן מרכז המעגל החוסם נמצא על הישר שעובר דרך אמצע הצלע ומאונך לה. באופן דומה מוכיחים שמרכז המעגל נמצא על האנכים האמצעיים לשתי הצלעות האחרות של המשולש. הערות ב. M מ.ש.ל. א. קיים רק מעגל אחד שחוסם משולש נתון. להבדיל ממשולש, לא כל מרובע אפשר לחסום במעגל. לדוגמה: אי אפשר לחסום במעגל מעוין שאינו ריבוע. )ודאו זאת והסבירו מדוע.( D C E K F C b למרובע החס ום במעגל תכונה מיוחדת: N L סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180. a a d c b c D C E d D הוכחה נתבונן בשרטוט וניעזר במשפט של זווית היקפית: = CD, C = D F M מכאן נובע: + C = ( CD + D) = b a E גיאומטריה - המעגל K N 25 L d d

26 גם המשפט ההפוך מתקיים: אם במרובע סכום שתי זוויות נגדיות הוא 180, אפשר לחסום אותו במעגל. הוכחה נניח שבמרובע CD מתקיים: )0( + C = 180 נשרטט מעגל העובר דרך שלוש קדקודי המרובע:, ו- D ונוכיח שהוא עובר גם דרך קדקוד C, כלומר הוא חוסם את המרובע.CD C נשתמש בהוכחה בדרך השלילה: נניח שאין זה כך, כלומר שקדקוד נמצא בתוך העיגול או מחוצה לו. נבדוק את המקרה הראשון: נסמן את נקודת החיתוך של הישר C עם המעגל ב- F. המרובע FD חסום בתוך מעגל, לכן סכום הזוויות הנגדיות ו- F הוא 180 : )4( + F = 180 נשווה את )1( ו- )2( ונקבל:. C = F אולם C היא זווית חיצונית למשולש,CED לכן היא גדולה מזוויות המשולש שאינן סמוכות לה, כלומר חייב להתקיים:. C > F הגענו לסתירה, לכן ההנחה שקדקוד C נמצא בתוך המעגל אינה נכונה. בדרך דומה אפשר להוכיח שקדקוד C אינו יכול להימצא מחוץ למעגל. מ.ש.ל. תרגילים משושה משוכלל חסום במעגל. מה גודל הקשת שעליה נשענת כל צלע? מצולע משוכלל בעל 01 צלעות חסום במעגל. מה גודל הקשת שעליה נשענת כל צלע? זוויות המרובע CD הן: = 80,. D = 70, C = 110, = 100 האם אפשר לחסום אותו במעגל? גיאומטריה - המעגל 22

27 מעגל חוסם משולש,C כאשר הוא קוטר המעגל. מצאו את זוויות המשולש אם ידוע: C = 70 ב( C = 134 מעגל חוסם משולש שווה שוקיים,C כאשר C הוא בסיס המשולש. מצאו את זוויות המשולש אם ידוע כי = 102 C. מעגל שמרכזו בנקודה חוסם משולש ישר זווית א( הוכיחו ש- היא אמצע היתר; ב( מצאו את צלעות המשולש אם קוטר המעגל הוא d ואחת מזוויותיו החדות היא.30 מעגל חוסם משולש ישר זווית C שבו זווית ישרה היא C. מצאו את רדיוס המעגל, אם נתון: א( 8 ס"מ =,C 0 ס"מ = C ; ב( 08 ס"מ =,C. = 30 מצאו צלע של משולש שווה צלעות, אם ידוע שרדיוס המעגל החוסם את המשולש הוא 01 ס"מ. זווית ראש במשולש שווה שוקיים היא 120, והשוק באורך 8 ס"מ. מצאו את קוטר המעגל החוסם. הוכיחו שאפשר לשרטט מעגל חוסם סביב: א. כל מלבן; ב. כל טרפז שווה שוקיים. הוכיחו שאם אפשר לחסום מקבילית במעגל, אזי המקבילית היא מלבן. הוכיחו שאם אפשר לחסום טרפז במעגל, אזי הטרפז שווה שוקיים. שרטטו שלושה משולשים: כהה זווית, ישר זווית ושווה צלעות. שרטטו מעגל חוסם לכל אחד מהם. מצאו את רדיוס המעגל החוסם משולש שווה צלעות באורך 12 ס"מ כל צלע. מצאו את ההיקף של משולש ישר זווית החסום במעגל בעל רדיוס של 13 ס"מ, אם אחד הניצבים של המשולש באורך 11 ס"מ גיאומטריה - המעגל 27

28 9481 מצאו את צלע המשולש שווה צלעות החסום במעגל שהרדיוס שלו 4 ס"מ אחד מניצבי משולש ישר זווית באורך 30 ס"מ, ורדיוס המעגל החוסם אותו 71 ס"מ 9 מצאו את שטח המשולש 9 בסיס משולש כהה זווית ושווה שוקיים באורך 24 ס"מ, ורדיוס המעגל החוסם אותו 73 ס"מ 9 מצאו את אורך השוק של המשולש 9 מרובע CD חסום במעגל, באופן שהצלע D היא קוטר המעגל נתון: = 129, CD 9 C = 121 מצאו את הזוויות CD,D ו- 9C מצאו את הצלעות של משולש חד זווית ושווה שוקיים, אם ידוע שהגובה לבסיס המשולש הוא 8 ס"מ, ורדיוס המעגל החוסם הוא 5 ס"מ 9 TPM,KTP מצאו את הזוויות 9MKTP הוא רדיוס המעגל החוסם את המרובע MP ו-,KMP אם נתון: = 127, MKT 9 KTM = 24 מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש שצלעותיו באורך 71 71, ו- 71 ס"מ 9 טרפז שווה שוקיים חסום במעגל, באופן שמרכז המעגל נמצא על אחד מבסיסי הטרפז 9 מצאו את זוויות הטרפז, אם ידוע שאחת מזוויות בין אלכסוני הטרפז היא מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש שצלעותיו באורך 14 75, ו- 75 ס"מ כל אחת משוקי הטרפז ובסיסו הקטן באורך 5 ס"מ, ואחת מזוויותיו מצאו רדיוס המעגל החוסם את הטרפז 9 המעגל זווית פנימית )זווית שקדקודה בתוך מעגל( קדקוד הזווית S נמצא בתוך מעגל 9 שוקי הזווית חותכות את המעגל בנקודות ו- 9 נמצא קשר בין הזווית S לגודל הזוויתי של הקשת שעליה נשענת הזווית 9

29 נניח שהמשכי השוקיים חותכים את המעגל בנקודות C ו- 9D הזווית S היא זווית חיצונית למשולש 9SC על פי המשפט של זווית חיצונית, היא שווה לסכום שתי זוויות פנימיות שאינן צמודות S = C + DC לה: זוויות פנימיות אלה היקפיות, לכן כל אחת שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת 9 S = מכאן מקבלים: CD) ( + כלומר זווית שקדקודה בתוך המעגל שווה למחצית הסכום של שתי קשתות המעגל, כאשר אחת חסומה בין שוקי הזווית ושנייה בין המשכי השוקיים 9 הוכחה אחרת: נעביר מיתר E המקביל למיתר 9C נקבל: S = DE = DE = ( DC + CE). נוכיח שהקשת CE שווה לקשת : 9C E שתי הקשתות כלואות בין זוג מיתרים מקבילים C ו- :E הזוויות C ו- CE שוות )כזוויות מתחלפות ליד C הישר C שחותך את שני הישרים המקבילים ו- :)E C = CE כיוון שזוויות אלה היקפיות ונשענות בהתאמה על הקשתות ו- CE, הן שוות למחציתן: C =, CE = CE מכאן מקבלים את המבוקש 9 = CE S = לבסוף מסיקים על גודל הזווית הפנימית: CE) ( DC + המעגל מ.ש.ל. 8.

30 3.3 זווית חיצונית )זווית בין החותכים שקדקודה מחוץ למעגל( כאשר קדקוד הזווית נמצא מחוץ למעגל ושוקיה חותכות אותו, גודל הזווית שווה לחצי ההפרש בין קשתות המעגל החסומות בתוך הזווית 9 הוכחה נתבונן בשרטוט 9 זווית CD היא למשולש,SC לכן אפשר לרשום: חיצונית CD = S + C S = CD - C מכאן נקבל: נעבור לקשתות ונקבל את המבוקש: S = ( CD - ) הוכחה בדרך אחרת 9 נעביר מיתר E המקביל למיתר :C S = DE = DE = ( DC - CE) = = ( DC - ) 3.4 זווית בין חותך למשיק למעגל קדקוד הזווית יכול להימצא על המעגל או מחוצה לו 9 במקרה הראשון, אם הזווית S חדה, היא שווה להפרש שבין הזווית הישרה SD והזווית ההיקפית 9SD לכן: S = 90 - D = SD - D = S אם הזווית S כהה, התוצאה זהה 9 המעגל.1

31 כלומר הוכחנו שזווית בין חותך למשיק למעגל, שקדקודה על המעגל, שווה למחצית הקשת החסומה בתוך הזווית 9 E במקרה השני, כאשר הקדקוד מחוץ למעגל, נקבל: S = C - S ניעזר בתוצאה של המקרה הקודם: C S D S = ונקבל סופית: S = C - S = C - = ( C - ) ובכן, זווית בין חותך ומשיק היוצאים מנקודה מחוץ למעגל שווה למחצית הפרש בין קשתות החסומות בתוך זווית זאת 9 תרגיל 1 מרובע CD חסום במעגל 9 זווית בין המשכי הצלעות ו- CD היא, ובין הצלעות D ו- C היא 9 מצאו את זוויות המרובע 9 פתרון נסמן את הגודל הזוויתי של הקשתות,C, CD ו- D באמצעות z,y,x ו- t בהתאמה 9 נסמן ב- את הזווית בין אלכסוני המרובע C ו- 9D x + y + z + t = 360 אזי: על פי המשפטים שהוכחנו קודם, אפשר לרשום: נחבר או נחסיר את השוויונות האלה: t = +, y = -, x = , z = המעגל.4

32 ה לבסוף מקבלים : תרגיל 2 במשולש C נתונים הגבהים: 1 ו- 91 הקטע 11 נראה מנקודה אמצעית של הצלע בזווית 9 מצאו את זווית C של המשולש 9 פתרון במבט מהנקודות 1 ו- 1 קטע נראה בזווית 90 )כי 1 ו- 1 הם גבהים( 9 לכן נקודות אלה נמצאות על המעגל שבו הוא קוטר 9 על פי המשפט של זווית בין חותכים שקדקודו מחוץ למעגל מקבלים: C = ( - 11) = תרגילים 94.1 מצאו את גודל הזוויות הממוספרות: המעגל.8

33 94.2 רשמו משוואה למציאת 9x פתרו אותה ומצאו את x: נתון: PT משיק למעגל 9 מה אפשר לומר על גודל הזוויות PRT ו-? PTS 9137 בשרטוט נתון: Z הוא משיק למעגל שמרכזו, 9D E = 20,C D = 30, C = 90 מצאו את כל הזוויות הממוספרות המעגל..

34 רדיוסים של שני מעגלים הם 1 ו- 42 ס"מ בהתאם, ואורך המשיק החיצוני המשותף בין נקודות ההשקה בשני המעגלים הוא 42 ס"מ 9 מצאו את המרחק בין מרכזי המעגלים M N שני מעגלים משיקים חיצונית בנקודה 9 המשיק המשותף לשני המעגלים משיק להם 5 בנקודות M ו- 9N הוכיחו שהזווית MN ישרה E? 9414 שני מעגלים משיקים 16 פנימית בנקודה 9S מיתר של המעגל הגדול משיק למעגל הקטן בנקודה 9P הוכיחו שהקרן SP חוצה את הזווית 9S 9418 במשולש C חסום מעגל, אשר משיק לצלעות ו- C D בנקודות D ו- E בהתאמה 9 הוכיחו שמרכז המעגל החסום במשולש DE נמצא על המעגל הראשון 9 E C מרובע CD חסום במעגל 9 נקודות 1, 1, הןD 1 ו- C1 אמצעי הקשתות 9D,CD,C, הוכיחו שהישרים 1C1 ו- 1D1 מאונכים המעגל.1

35 משולש C חסום במעגל 9 חוצי הזוויות, ו- C של המשולש חותכים את המעגל בנקודות 1, ו C1 בהתאמה 9 CC1 1 הוכיחו שהישרים,1 ו- מאונכים לצלעות המשולש 911C1 המשכי הגבהים 1,1 ו- CC1 של משולש חד זווית C חותכים את המעגל החוסם בנקודות 1, 1 ו- C1 בהתאמה 9 הוכיחו שישרים אלה חוצים את זוויות המשולש C1 המעגל.1

36 .5 בעיות בנייה בגיאומטריה בנייה בגיאומטריה היא שרטוט צורות באמצעות כלי שרטוט בסיסיים, בדרך כלל סרגל ומחוגה. פתרון הבעיה אינו דווקא השרטוט עצמו, אלא ההסבר כיצד לעשות זאת ודרך ההוכחה. באמצעות הסרגל אפשר לשרטט סתם ישר או כזה שעובר דרך נקודה או דרך שתיים, אולם אי אפשר למדוד בעזרתו אורך )גם אם יש עליו סימנים מתאימים( או כל פעולה דומה אחרת. כמו כן המחוגה מאפשרת לשרטט מעגל בעל רדיוס נתון שמרכזו בנקודה מסוימת ולהקצות קטע באורך נתון מנקודה מסוימת על ישר נתון. פתרון בעיות בנייה רבות מתבסס על תכונות המעגל. בהמשך נתאר כמה בעיות כאלה שאותן כבר למדתם בשנים קודמות, ונציג גם חדשות. 5.5 בניית משולש על פי צלעותיו בעיה: נתונים שלושה קטעים b a, ו- c. a יש לשרטט משולש שצלעותיו שוות לקטעים אלה. a פתרון 4 5 b c א. ב. משרטטים בסרגל ישר, ומסמנים עליו נקודה. פותחים מחוגה לאורך הקטע a וקובעים את הפתיחה. 4 5 C a ג. מציבים את הרגלית הקבועה של המחוגה בנקודה ומשרטטים קשת של מעגל עד למפגש עם הישר. c מסמנים את נקודות המפגש ב- C. ד. מציבים את המחוגה בנקודה ומשרטטים קשת בעלת רדיוס с, אחר כך מציבים את המחוגה בנקודה C ומשרטטים קשת בעלת רדיוס b. נסמן את נקודת המפגש של הקשתות ב-. c b c a ה. משרטטים בסרגל את הקטעים ו-,C ומקבלים את המשולש C הנדרש. C בעיות בנייה 63

37 5.5 בניית זווית השווה לזווית נתונה בעיה נתונים: זווית, ישר ונקודה על הישר. יש לשרטט זווית השווה לזווית נתונה, כאשר קדקודה בנקודות, ואחת משוקיה מתלכדת עם הישר )שרטוט א(. פתרון א. נשרטט קשת מעגל בעל רדיוס כלשהו שמרכזו בקדקוד הזווית. נסמן ב- ו- C את נקודות החיתוך של המעגל עם שוקי הזווית )שרטוט ב(. ב. נשרטט קשת מעגל שמרכזו בנקודה ורדיוס. את נקודת החיתוך של המעגל ישר נסמן ב- 1 )שרטוט ג(. ג. נשרטט מעגל שמרכזו בנקודה 1 והרדיוס שלו.C את נקודת החיתוך של שני המעגלים נסמן ב- C1. נעביר ישר דרך שתי הנקודות ו- C1. הזווית בין הישר הזה לבין הישר הנתון שווה לזווית נתונה )שרטוט ד(. הוכחה המשולשים C ו- 1C1 חופפים על פי שלוש צלעות )צ.צ.צ.(, לכן הזוויות ו- שוות כזוויות מול צלעות מתאימות )שרטוט ה(. בעיות בנייה 63

38 5.5 בניית חוצה זווית נתונה זווית.C יש לבנות לה חוצה זווית. פתרון א. נשרטט קשת מעגל בעל רדיוס כלשהו, שמרכזו בקדקוד הזווית. הקשת חותכת את שוקי הזווית בנקודות ו- C )שרטוט א(. ב. נשרטט קשתות בעלות אותו רדיוס שמרכזן בנקודות אלה, ונסמן ב- D את נקודת החיתוך של הקשתות )שרטוט ב(. ג. הקרן D חוצה את הזווית הנתונה )שרטוט ג(. הוכחה משולשים שווי שוקיים D ו- CD )שרטוט ד( חופפים על פי שלוש הצלעות R( D, = D = C = CD = צלע משותפת(; לכן מתקיים: D = DC )זוויות מתאימות במשולשים חופפים(. מ.ש.ל. בעיות בנייה 63

39 C חציית קטע נתון קטע. יש למצוא את נקודת האמצע של הקטע. פתרון נשרטט שני מעגלים בעלי רדיוס R: = אחד מרכזו ב- ושני מרכזו ב-. נקודות החיתוך שלהם C1. ו- נמצאות בשני צדי הישר C קטע CC1 חותך את הישר בנקודה. נקודה זו היא אמצעי הקטע. הוכחה משולשים CC1 ו- CC1 חופפים על פי משפט חפיפה שלישי R( D,C = C = C1 = C1 = C צלע משותפת(. מכאן נובע שוויון זוויות C ו-.C משולשים C ו- C חופפים על פי משפט חפיפה ראשון )צ.ז.צ(. ו- הן צלעות מתאימות במשולשים חופפים ולכן שוות.. היא נקודת האמצע של הקטע מ.ש.ל. תוצאה נוספת של הבנייה: הישר CC1 הוא אנך אמצעי לקטע. 5.5 מציאת מרכז מעגל נתון מעגל. יש למצוא את מרכזו. פתרון נשרטט שני מיתרים ונבנה אנכים מרכזיים לכל מיתר )על פי השיטה המתוארת בסעיף הקודם(. מרכז המעגל הוא נקודת המפגש של האנכים המרכזיים. הוכחה כל נקודות האנך המרכזי 11 מרוחקות באופן שווה מקצות המיתר ; לכן מרכז המעגל נמצא על האנך.11 מאותה הסיבה מסיקים שמרכז המעגל נמצא גם על האנך המרכזי C1D1 למיתר.CD בעיות בנייה 63

40 כיוון שלמעגל יש מרכז אחד, מסיקים שהוא שייך לשני הישרים ו- 11 בו-זמנית, כלומר מרכז המעגל הוא נקודת החיתוך של שני האנכים המרכזיים. C1D1 5.6 מציאת מרכז קשת נתונה קשת של מעגל. יש למצוא את מרכז המעגל. פתרון נשרטט שני מיתרים של הקשת ו- CD ונחזור על הבנייה המתוארת בסעיף הקודם. 5.7 בניית אנך לישר דרך נקודה נתונה נתון ישר a ועליו נקודה. יש לבנות ישר המאונך לישר а, שעובר דרך הנקודה. פתרון יש שתי אפשרויות: א( נקודה נמצאת על הישר a; C ב( נקודה אינה על הישר a. אפשרות א נשרטט מעגל שמרכזו ב-. הוא חותך את הישר בשתי נקודות: ו-. נשרטט שתי קשתות בעלות רדיוס שמרכזן בנקודות אלה. C היא נקודת החיתוך של קשתות אלה. a האנך הנדרש עובר דרך הנקודות ו- C. C C הוכחה המשולשים ו- חופפים על פי משפט חפיפה שלישי )צ.צ.צ.(, לכן זוויות C שוות כזוויות מתאימות, כלומר C הוא ו- C חוצה זווית. כיוון שמשולש C שווה שוקיים, C הוא גם גובה. מ.ש.ל. בעיות בנייה 04

41 אפשרות ב נשרטט קשת מעגל שמרכזו בנקודה, החותכת את הישר a. נסמן את נקודות החיתוך ב- ו-, ונשרטט קשתות בעלות אותו רדיוס שמרכזן ב- ו- בהתאם. C a 1 נסמן ב- את נקודת החיתוך של קשתות אלה בחצי המישור השונה מזה שבו נמצאת הנקודה. הישר 1 הוא האנך הנדרש. הוכחה נסמן ב- C את נקודת החיתוך של הישירים 1 ו-.1 המשולשים ו- חופפים על פי 1 משפט חפיפה שלישי )צ.צ.צ.(, לכן, C = 1C והמשולשים C ו- 1C חופפים על פי משפט חפיפה ראשון )צ.ז.צ.(. מכאן נובע שוויון הזוויות. C = C1 כיוון שזוויות אלה הן זוויות משלימות, מסיקים שהן ישרות. מ.ש.ל. אם כך, C הוא אנך מנקודה על הישר a. 5.8 בניית משיק למעגל בנקודה עליו יש לבנות משיק למעגל העובר דרך נקודה נתונה עליו. פתרון נתונים: מעגל שמרכזו בנקודה ונקודה עליו. נשרטט קטע העובר דרך הנקודה, ונבנה אנך C לקטע זה )ראו את הסעיף הקודם, מקרה א(. אנך זה הוא המשיק הנדרש. בעיות בנייה 04

42 ש) 5.9 בניית משיק למעגל מנקודה מחוץ למעגל יש לבנות משיק למעגל, שעובר דרך נקודה נתונה מחוץ למעגל. פתרון מחוץ ונקודה בנקודה שמרכזו מעגל נתונים: למעגל. נניח ש- הוא המשיק המבוקש. כיוון שהישר מאונך לרדיוס, הבעיה הופכת למציאת נקודה על המעגל, כך שהזווית הנוצרת תהיה זווית ישרה. כדי למצוא אותה, נשרטט קטע ונבנה את אמצע הקטע לאחר מכן, נשרטט מעגל שמרכזו ב- 1 1 והרדיוס שלו.1 )ראו סעיף 4.0(. מעגל זה חותך את המעגל הנתון בשתי נקודות: ו- 1. הישרים ו- 1 הם המשיקים המבוקשים, כיוון ש- ו- 1 הרי הזוויות ו- 1 היקפיות ונשענות על קוטר המעגל(. הערה: לבעיה שני פתרונות )הנקודות: ו- 1(. 1 1 E D P P P 5.51 בניית משיק משותף לשני מעגלים בנו משיק משותף לשני מעגלים נתונים. לסקרנים בעיה זו נושקת לתחום ההנדסה: צריך להעביר תנועה סיבובית מגלגל אחד לשני, הנמצא במקום מרוחק )כל רוכב אופניים יזהה מיד!(. C 2 R2? R 1 1 התנועה מועברת במקרה זה בעזרת שרשרת בין שני גלגלי שיניים. מציאת מקומות ההשקה של R השרשרת בחישוקי הגלגלים היא משימה חשובה בהנדסת המכונות, והיא, למעשה גם הפתרון לבעיה שהעלינו. בעיות בנייה 04

43 E C D פתרון אחת מדרכי פתרון של בעיה מורכבת היא לאתר בעיה דומה אולםP פשוטה יותר.? בדומה הנ"ל: באם אחד המעגלים הוא נקודה )מעגל שרדיוסו אפס(, הפתרון ידוע )ראו P את הסעיף הקודם(. P נניח שהצלחנו לבנות את המשיק המשותף. בשרטוט רואים שהישר המקביל לו העובר דרך מרכז המעגל הקטן, מרוחק ממרכז המעגל הגדול מרחק של: C D R 1 R 1.R2 R1 R נשרטט מעגל בעל רדיוס שמרכזו ב- R2 R1 2 ונבנה משיק למעגל זה מהנקודה 1. נסמן את נקודת ההשקה ב- C. 2 R - R נקודת ההשקה המבוקשת D נמצאת על הישר.2C 6. מקומות גיאומטריים אחת השיטות לפתרון בעיות בנייה היא שיטת המקומות הגיאומטריים. מקום גיאומטרי הוא אוסף כל נקודות בעלות תכונה מסוימת, ורק נקודות אלה. לדוגמה, המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור, שמרחקן מנקודה נתונה קבוע, הוא מעגל שמרכזו בנקודה זו. מציאת מקום גיאומטרי כוללת שני שלבים: א( להוכיח שכל נקודה ממקום גיאומטרי מקיימת את התנאי המוגדר; ב( להוכיח שכל נקודה המקיימת את התנאי הזה, שייכת למקום הגיאומטרי. שני השלבים הללו חשובים. אם רק אחד מהם מתקיים, המקום הגיאומטרי אינו קיים. למשל: מצאו מקום גיאומטרי של כל הנקודות, שבמרחקן מנקודה נתונה קבוע. בעיות בנייה 06

44 שימו לב: אין כאן תנאי להימצאותן של הנקודות במישור. א( כל נקודה עליו אכן נמצאת באותו מרחק קבוע מהמרכז. ב( קיימות נקודות )על מעטפת כדורית שמרכזה בנקודה הנתונה, מחוץ למישור( שמקיימות את התנאי, אולם אינן שייכות למעגל, לכן המעגל אינו מקום גיאומטרי המתאים לתנאיי השאלה. השלבים א( ו- ב( מהווים יחד זוג של משפט ומשפט הפוך. הדוגמה האחרונה מראה כי יש מקרים שבהם מתקיים רק אחד מהשלבים, ולכן כל שלב דורש הוכחה נפרדת. משפט a C D מקום גיאומטרי של הנקודות המרוחקות למרחק שווה משתי נקודות נתונות הוא אנך אמצעי לקטע המחבר את שתי הנקודות. הוכחה ו- הן נקודות נתונות ו- a אנך אמצעי לקטע. נוכיח: א( כל נקודה על ישר a נמצאת באותו מרחק משתי הנקודות ו-. ב( כל נקודה D על המישור, המרוחקת באופן שווה משתי הנקודות ו- נמצאת על ישר a. העובדה שכל נקודה C על הישר a נמצאת במרחק שווה מהנקודות ו- נובעת 1 מחפיפת המשולשים C ו-.C משולשים אלה הם ישרי זווית, הניצב C משותף לשניהם, ו-, = כיוון ש- היא נקודת האמצע של הקטע. נסמן ב- D נקודה המרוחקת באופן שווה משתי הנקודות הנתונות. המשולש D הוא שווה שוקיים, כיוון שנתון.D = D במשולש זה D הוא תיכון. על פי התכונה של משולש שווה שוקיים, תיכון לבסיס הוא גם גובה. לכן מסיקים שנקודה D נמצאת על הישר a. בעיות בנייה מ.ש.ל. 00

45 השיטה נניח שעלינו למצוא נקודה X המקיימת שני תנאים. מקום גיאומטרי של הנקודות המקיימות תנאי ראשון הוא צורה מסוימת F1, ומקום גיאומטרי של הנקודות המקיימות תנאי שני הוא צורה F2. הנקודה המבוקשת X שייכת גם ל- שתי הצורות. F1 וגם ל- F2, כלומר היא בעצם נקודת החיתוך של אם הצורות פשוטות )מורכבות מישרים ומעגלים, למשל(, אפשר לשרטט אותן ולמצוא את הנקודה הנדרשת..C ו- דוגמה נתונות שלוש נקודות:, מצאו נקודה X, המרוחקת מרחק שווה מנקודות ו- ונמצאת במרחק נתון מנקודה C. פתרון הנקודה המבוקשת אמורה לקיים שני תנאים: א. עליה להיות מרוחקת מרחק שווה מהנקודות ו- ; ב. עליה להימצא במרחק נתון מהנקודה C. מקום גיאומטרי של הנקודות המקיימות את התנאי הראשון הוא אנך אמצעי לקטע. מקום גיאומטרי של הנקודות המקיימות את התנאי השני הוא מעגל בעל רדיוס נתון שמרכזו בנקודה C. לכן הנקודה המבוקשת X היא נקודת החיתוך של שני המקומות האלה. מהשרטוט רואים שלמעשה יש שתי נקודות העונות לתנאים א' ו- ב': תרגילים ומשימות חקר X1 ו- X בנו משולש על פי שלוש צלעותיו b a, ו- c: a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm a = 2 cm, b = 3 cm, c = 6 cm א. ב. ג. ד. בעיות בנייה 04

46 נתון משולש.C בנו משולש אחר שחופף למשולש.C בנו מעגל בעל רדיוס נתון העובר דרך שתי נקודות נתונות. בנו משולש על פי שתי צלעותיו ורדיוס של מעגל חוסם. 4. בנו משולש על פי שתי צלעות וזווית ביניהן: א. = 40 = 5 cm, C = 6 cm, ב. = 70 = 3 cm, C = 5 cm, בנו משולש על פי צלע ושתי זוויות הצמודות לה: 4. = 50 = 6 cm, = 30, א. = 60 = 4 cm, = 45, ב. בנו משולש על פי שתי צלעות וזווית שמול הצלע הגדולה: = 70 a = 6 cm, b = 4 cm, א. = 100 a = 4 cm, b = 6 cm, ב. בנו משולש שווה צלעות על פי הצלע וזווית הבסיס. בנו מעגל חסום במשולש נתון. ח לקו זווית לארבע זוויות שוות. בנו זוויות בנות 60 ו- 30. בנו תיכונים של משולש נתון. בנו משולש על פי שתי צלעותיו ותיכון לאחת מהן. בנו משולש על פי צלע, תיכון לצלע זו ורדיוס מעגל חוסם בעיות בנייה 03

47 a m בנו משולש על פי שתי צלעותיו a ו- b ותיכון m לצלע שלישית. רמז: היעזרו בשרטוט משמאל..443 b בנו גבהים של משולש נתון. בנו מעגל חוסם למשולש נתון. בנו משולש ישר זווית על פי היתר והניצב. בנו משולש שווה שוקיים על פי השוק וגובה לשוק זאת. בנו משולש על פי שתי צלעותיו וגובה לצלע שלישית. בנו משולש על פי שתי צלעותיו וגובה לאחת מהן. בנו משולש על פי צלע, גובה ותיכון לצלע זו. בנו משולש שווה שוקיים על פי הבסיס ורדיוס מעגל חוסם הוכיחו כי מקום גיאומטרי של כל הנקודות המרוחקות מישר נתון במרחק h הוא שני ישרים המקבילים לישר נתון, המרוחקים ממנו במרחק h. על ישר נתון מצאו נקודה הנמצאת במרחק נתון מישר נתון אחר. מצאו נקודה על ישר נתון הנמצאת במרחק שווה משתי נקודות נתונות. נתונות ארבע נקודות C,, ו- D. מצאו נקודה X ו- והמרוחקת.D המרוחקת מרחק שווה מנקודות מרחק שווה )אחר( מנקודות C ו- m b בנו משולש על פי צלע, זווית הצמודה אליה וסכום שתי הצלעות האחרות. רמז: היעזרו בשרטוט משמאל. בעיות בנייה

48 575. בנו משולש על פי צלע, זווית הצמודה אליה והפרש שתי הצלעות האחרות בנו משולש ישר זווית על פי ניצב וסכום היתר והנציב השני. 7. בניות העשרה את רוב בעיות הבנייה אפשר לפתור בכמה דרכים. בסעיף 4 למדנו כיצד לבנות אנך לישר דרך נקודה נתונה דוגמה 5 C באמצעות שלושה קווי עזר )מעגלים שמרכזם בנקודות, אותה בעיה אפשר לפתור באמצעות שני קווי עזר בלבד,.) ו- שהם שני מעגלים שמרכזם בנקודות ו- )ראו שרטוט א' לנקודה מחוץ לישר, ושרטוט ב' לנקודה על הישר(. a 1 a a שרטוט א' a a שרטוט ב' משימה: הוכיחו שבשני המקרים אכן נבנה אנך לישר a. בעיות בנייה 03

49 דוגמה 5 בניית ישר המקביל לישר נתון ועובר דרך נקודה נתונה. a א( משרטטים מעגל שמרכזו בנקודה ועובר דרך נקודה נתונה. ב( באמצעות המחוגה מודדים מרחק בין הנקודה לבין נקודת חיתוך של הישר והמעגל. a a ד( מעבירים ישר דרך נקודת החיתוך בין משרטטים מעגל שמרכזו בנקודת ג( שני המעגלים והנקודה הנתונה. החיתוך השנייה ורדיוס שווה למרחק המדוד בשלב הקודם. משימה: הוכיחו שהישר שהתקבל מקביל לישר הנתון a. ישר זה מקביל לישר הנתון. דוגמה 5 בניית משולש C על פי צלע,C = a גובה לצלע זו a. שמול צלע וזווית ha פתרון h a נשתמש בשיטת המקומות הגיאומטריים: קודם נמצא את קבוצות הנקודות )צורות( המתאימות לכל אחד a C משני התנאים, ואחר כך את חיתוך הקבוצות. בעיות בנייה 03

50 h a על פי התנאי הראשון, נקודה נמצאת במרחק ha מהקטע,C כלומר על הישר המקביל לישר,C שנמצא במרחק ha ממנה. נשרטט ישר זה: a על פי התנאי השני, נקודה שייכת לקבוצת הנקודות C שמהן הקטע C נצפה בזווית.C = תכונה זו מאפיינת את נקודות המעגל, כאשר הקטע הוא מיתר במעגל זה, ועליו נשענת זווית מרכזית של.2 מרכז המעגל נמצא על אנך אמצעי לקטע C )שאותו אנו כבר יודעים לבנות(. כדי למצוא את רדיוס המעגל, נתבונן במשולש :M, C = 90 - הוא שווה שוקיים, לכן: וניתן לבנות אותה )ראו סעיף קודם(. נקודת החיתוך בין שוק הזווית ואנך אמצעי היא מרכז המעגל. נשים לב לכך שאפשר לבנות שני מעגלים בעלי התכונה הנדרשת )משני צדי הקטע,)C וגם לעובדה שלכל מעגל יש שתי נקודות חיתוך עם הישר המקביל ל-,C ונקבל פתרון סופי לבעיה. ארבע הנקודות: '' ',, ו- ''' מהוות מקום גיאומטרי של הנקודות המקיימות את שני התנאים: מרחק נתון נצפה ממנה. C שבה הקטע והזווית C לישר ha בעיות בנייה 44

51 L 1 C חלוקת זווית לארבע זוויות שוות. דוגמה 5 בסעיף הקודם ראינו כיצד לחלק זווית לשתיים פתרון ראו שרטוט )במילים אחרות, לבנות חוצה זווית משמאל(. כעת, נחלק את כל מחצית הזווית שוב לשתיים ונקבל את החלוקה הנדרשת. דוגמה 5 פתרון חלוקת זווית לשלוש זוויות שוות. זוויות מסוימות ניתן לחלק ללא בעיה לשלוש. לדוגמה: אפשר לבנות שליש של זווית ישרה )30 הזווית שלו לשתיים. ב( בניית משולש שווה צלעות וחלוקת אם נחלק לשתיים את הזווית שנוצרה, נקבל זווית של - 15 שליש של 45. יש זוויות נוספות שאפשר לחלקן לשלוש. בניות אלה עודדו, ככל הנראה, ניסיונות רבים למצוא שיטה לחלוקה לשלוש של כל זווית. נתאר אחד מהניסיונות שהוצעו עוד ביוון העתיקה במאה החמישית לפנה"ס. נתונה זווית. נשרטט ישר Q מקביל לשוק, וישר C מאונך ל Q נסמן על הסרגל את אורך הקטע ואת אורך הקטע הכפול. נשרטט באמצעות הסרגל הזה, ישר העובר דרך קדקוד הזווית, כך שאורך הקטע PQ יהיה שווה ל- PQ = 2 )אילו היינו משתמשים בסרגל ללא סימן, לא יכולנו להקצות קטע באורך הנדרש(. בעיות בנייה 44

52 הזווית Q שנוצרה שווה לשליש הזווית הנתונה. הוכחה נסמן את אמצע הקטע.D באות PQ המשולש PQ ישר זווית, ובו D תיכון ליתר, ולכן שווה לחצי היתר: המשולש D הוא אפוא משולש שווה שוקיים, לכן. D = D גם משולש DQ שווה שוקיים, ובו זווית D היא זווית חיצונית, ולכן שווה לסכום. D = DQ + QD = 2 QD D = 2 QD שתי זוויות האחרות: כלומר: הזוויות QD ו- D הן זוויות מתחלפות ליד ישרים מקבילים ו-,Q ולכן שוות:. QD = D מציבים בביטוי לזווית : = D + D = 3 QD = 3 D Q מ.ש.ל. ולבסוף: הבנייה אומנם פשוטה, אולם היא נעשתה באמצעות סרגל מיוחד שבו נעשה סימן. השיטה של ארכימדס ארכימדס הציע שיטה אחרת: R P משרטטים מעגל שמרכזו בקדקוד הזווית R הנדרשת לחלוקה. באמצעות הסרגל שעליו מסומן רדיוס המעגל מעבירים ישר דרך נקודה כך שהקטע PQ יהיה שווה לרדיוס. משימה: הוכיחו שהזווית Q שווה לשליש הזווית. שנים רבות ניסו המדענים לחלק באמצעות מחוגה וסרגל לא מסומן זווית לשלושה חלקים שווים אולם ללא הצלחה. רק במאה 43 הוכיחו שבנייה כזאת אינה אפשרית. בעיות בנייה 44

53 D. נחתכים בנקודה D ו- D 8. שעשועי מתמטיקה מצאו את הטעות 5. לכל מעגל שני מרכזים. "הוכחה" התבוננו בשרטוט: שני הישרים נבנה שני אנכים C D ו- C D ומעגל העובר דרך הנקודות, ו- C, וחותך את הישרים D ו- D בנקודות K ו- M בהתאמה. מהשרטוט מסיקים: = 90 MC KC = )כיוון ש C ו- C הם אנכים(. מכאן נובע שזוויות אלה נשענות כל אחת על קוטר המעגל: - KC על הקוטר CK ו- MC על הקוטר MC של אותו המעגל. נקודות אמצעיות של הקטרים הם מרכזי המעגל 2. כלומר, למעגל שבנינו שני מרכזים. ו- 1 "מ.ש.ל." D K M 1 2 C 5. זווית חיצונית של משולש שווה לזווית הפנימית שאינה צמודה לה. "הוכחה" התבוננו בשרטוט: במרובע נתון = 180 C. + כיוון ששלוש נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד מגדירות מעגל, אפשר לטעון שדרך הנקודות, ו- D עובר מעגל אחד. נסמן ב- E את נקודת החיתוך שלו עם הישר.DC בעיות בנייה 46

54 ב( נבנה קטע E ונקבל מרובע ED החסום במרובע, לכן:. + C = + D = 180 כיוון ש- = 180 C + ו- = 180 ED, + מסיקים ש-. ED = C "מ.ש.ל." K M E C D 5. ריבוע של כל צלע במשולש שווה לסכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות. "הוכחה" נשרטט משולש C ונבנה משולש נוסף ישר זווית.CD מתקיים: C )1( C 2 = D 2 + CD 2,C 2 = CD 2 + D 2 ו- )2( CD 2 = C 2 D 2 D :)1( - נציב את ערכו של CD מהשוויון )2 )3( C 2 = D 2 + C 2 D 2 (4) C 2 - C 2 = D 2 D 2,D = + D.D 2 D 2 = 2 או: אולם לכן נציב ב- )4( במקום ההפרש D 2 D 2 את ערכו 2 השווה לו, נקבל:.C 2 = 2 "מ.ש.ל." + או C 2, C 2 - C 2 = 2 בעיות בנייה 40

55 תשובות.01 3 אפשרויות )1 שני משיקים ב. 2 חיצוניים + 0 פנימי א. 2 חיצוניים + 2 פנימיים ד. 2 חיצוניים + 1 פנימיים ג. 2 חיצוניים + 1 פנימיים ו. 1 משיקים משותפים. 1 חיצוניים + 0 פנימי ה. אינסוף ס"מ א. 01 ס"מ ; ב אפשרויות : יש סה"כ 3 אפשרויות )3 )2 ) ס"מ ס"מ ס"מ, 3 3 ס"מ, 30, 30 5 ס"מ א. כן ; ב. לא ; ג. כן ס"מ ס"מ; 7 ס"מ; 11 ס"מ..31 המעגל - תשובות 55

56 42 ס"מ. 0 ס"מ. 13 ס"מ. 8 ס"מ ס"מ; 8 3 ס"מ ס"מ; 5 2 ס"מ ס"מ ס"מ א. ; 56 ב. ; 136 ג. ; 186 ד. ; 436 ה. ; 436 ו. 486 א. ; 06 ב. ; 56 ג. ; 116 ד. ; 116 ה. ; 456 ו. 316 א. ; 85 ב. ; 86 ג. ; 156 ד. ; 56 ה. ; 146 ו. 55. C = 60, C = 50, = 140. C = 20, C = 180, C = א. 10 ס"מ ; ב ס"מ; ג. 34 ס"מ ; ד ס"מ ,.53 ב ס"מ א., ; ב., ; ג., x 90, y 65 ; ב. ; x 70, y 95 א. x 60, y 150 ג..51. = C D = 2n. YXZ = 55, ZYX = 50, YZX = 75, ZXU = 50, YXV = 75 א. ; 42 ב. ; 48.5 ג. ; 25 ד. ; 04 ה. 96 א. ; 165 ב. ; 32 ג. ; 175 ד. 02 המעגל - תשובות ו

57 ; ג ; ב א ; ב א ס"מ ס"מ C = 160, = 100, C = ס"מ 18 ס"מ, KT = 140, M T = 120, K M = ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ = Q=P. ; 3.5 ס"מ = CR=QC ; 1.5 ס"מ = R=P א. ס"מ ; ב. 26 ס"מ r m c ס"מ סמ"ר ס"מ המעגל - תשובות 2 3 ס"מ

58 5 ס"מ P K = 123, K T = 152, T P = 85, P K = α, K T = α + β, T P = β, 55, ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ ס"מ סמ"ר סמ"ר ס"מ PKT = C = 49, C = 69, C = 62 90, : ; 23, 90, א. ב לא. א. 67 ב , 64.5, ס"מ ב. 2 d ; 2 d א. 5 ס"מ ; ב ס"מ 10 ס"מ ס"מ המעגל - תשובות 51

59 60 ס"מ. 4 3 ס"מ סמ"ר ס"מ CD = 59, D = 51, C = ס"מ, 8 ס"מ 4 5 ס"מ, KMP = 66, TPM = 53, KTP = ס"מ , 67.5,112.5, ס"מ ס"מ = 35 א. ב. = 30 2 ג. 3 = = 80 ד. ה. = 45 5 ו. 6 = 40 x = 50 א. ב. = 130 x ג. x = = 65 3 = 25 2 = 90 1 = = = 60 6 = = 90 5 = 55 8 = ס"מ.036 המעגל - תשובות 56